Прямоугольник
Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые (рис.1).
Рис.1
Прямоугольник обладает всеми свойствами параллелограмма.
Теорема 1. Диагонали прямоугольника равны.
Доказательство. Обратимся к рисунку 2, на котором изображен прямоугольник ABCD с диагоналями АС и BD.
Рис.2
Прямоугольные треугольники ACD и DBA равны по двум катетам (CD = BA, AD — общий катет). Отсюда следует, что гипотенузы этих треугольников равны, т. е. АС = BD, что и требовалось доказать.
Справедлива и обратная теорема 2.
Теорема 2. Признак прямоугольника. Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм — прямоугольник.
 |
Пример 1. Найти длины диагоналей прямоугольника ABCD (см. рис.2), если периметр его равен 34 см, а периметр одного из треугольников, на которые диагональ АС разделила прямоугольник, равен 30 см.
Рис.2
Решение. Обозначим периметр прямоугольника ABCD через р, а периметр треугольника ABC — через p1. Треугольники ABC и ADC равны (третий признак равенства треугольников), значит, равны и их периметры. Имеем
2p1 - р = 2АС, или 60 - 34 = 2АС,
откуда АС = 13 см, значит (теорема 1), и диагональ BD равна 13 см.
Пример 2. Биссектриса одного из углов прямоугольника делит сторону прямоугольника пополам. Найти периметр прямоугольника, если его меньшая сторона равна 10.
Решение. Условию задачи отвечает рисунок 3.
Рис.3
BE = EC по условию. Треугольник ABE прямоугольный и равнобедренный. Следовательно, АВ = ВЕ = 10.
BC = 2 * BE = 2 * 10 = 20
Периметр прямоугольника ABCD состоит из суммы всех его сторон и равен
2(АВ + ВС) = 2(10 + 20) = 60
Пример 3. В параллелограмме ABCD точка E — середина стороны AB. Известно, что EC = ED. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.
Видео-решение.
|