Векторы в пространстве

Компланарные векторы — векторы, лежащие в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Признак компланарности трёх векторов. Если вектор $\vec{c}$ можно разложить по векторам $\vec{a}$ и $\vec{b}$, т.е. представить в виде $\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b}$, где x и y – некоторые числа, то векторы $\vec{a}\,,\, \vec{b}$ и $\vec{c}$ компланарны.

Правило параллелепипеда — правило сложения трёх некомпланарных векторов, состоящее в том, что все три вектора откладывают из одной точки и строят параллелепипед таким образом, чтобы данные векторы были его рёбрами. Тогда вектор, отложенный из той же точки и совпадающий с диагональю параллелепипед, будет суммой трёх данных векторов.

Вектор $\vec{p}$ разложен по трём некомпланарным векторам $\vec{a}, \vec{b}$ и $\vec{c}$, если его можно представить в виде $\vec{p}=x\vec{a}+y\vec{b}+z\vec{c}$, где x, y и z — коэффициенты разложения.

Теорема о разложении вектора по трём некомпланарным векторам. Любой вектор можно разложить по трём данным некомпланарным векторам, причём коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Прямоугольная система координат в пространстве — три взаимно перпендикулярные прямые x, y, z, на которых выбраны направление и единица измерения отрезков, которые лежат в трёх разных плоскостях xy, yz, xz и имеют общую точку пересечения O.

Оси координат — прямые x, y, z с выбранными на них направлениями.

Начало координат — точка их пересечения О.

Оси координат в пространстве обозначают Ox, Oy, Oz (соответственно ось абсцисс, ось ординат, ось аппликат).

Координатные векторы — единичные векторы, направление которых совпадает с положительным направлением координатных осей.

Вектор $\vec{i}$ совпадает по направлению с осью абсцисс, вектор $\vec{j}$ совпадает по направлению с осью ординат, вектор $\vec{k}$ – с осью аппликант.

Любой вектор $\vec{c}$ можно разложить по координатным векторам: $$\vec{c}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$$

Координаты вектора $\vec{c}$ в данной системе координат — коэффициенты разложения x, y и k, которые определяются единственным образом: $\vec{c}(x\;;\;y\;;\;z)$.

Действия с векторам по координатам в пространстве.

Если $\vec{a}=(x_1\;;\;y_1\;;\;z_1)\;;\;\vec{b}=(x_2\;;\;y_2\;;\;z_2)$ , то

• сумма $(\vec{a}+\vec{b})=(x_1+x_2\;;\;y_1+y_2\;;\;z_1+z_2)$
• разность $(\vec{a}-\vec{b})=(x_1-x_2\;;\;y_1-y_2\;;\;z_1-z_2)$
• произведение числа k и вектора $\vec{a}$: $k\vec{a}=(kx_1\;;\;ky_1\;;\;kz_1)$
• скалярное произведение $\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$

Длина вектора $\vec{a}=(x\;;\;y\;;\;z)$ вычисляется по формуле $|\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$