Уравнение Бернулли имеет вид $\frac{dy}{dx}+p(x)y=Q(x)y^{n}$, где $n \neq 0$ с помощью замены переменной $z=\frac{1}{ y^{n-1} }$ уравнение Бернулли приводится к линейному уравнению и интегрируется как линейное.

Пример 1. Решить уравнение ${3y}'+y=\frac{1}{y^{2}}$

Решение. Умножим обе части уравнения на $y^{2}$ $$ 3y^{2}{y}'+y^{3}=1 $$

Положим $y^{3}=z$ , тогда $3y^{2}{y}'=\frac{dz}{dx}$ , подставим в уравнение $$ \frac{dz}{dx}+z=1 \\ z=uv \;;\; \frac{dz}{dx}=u \frac{dv}{dx}+v \frac{du}{dx} \\ u \left ( \frac{dv}{dx} +v \right ) +v \frac{du}{dx}=1 \;;\; \frac{dv}{dx}+v=0 \;;\; \ln{v}=-x \;;\; v=e^{-x} \\ e^{-x}\frac{du}{dx}=1 \;;\; du=e^{x}dx \;;\; u=e^{x}+C \\ z=uv=e^{-x}(e^{x}+C)=1+Ce^{-x} \\ y^{3}=1+Ce^{-x} $$