Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
+====== Решение задач ======
+При решении задач по статике рекомендуется  придерживаться  следующего плана:
+  - выбрать тело, равновесие которого будем рассматривать;
+  - приложить к нему активные силы;
+  - отбросить связи, заменив их неизвестными опорными реакциями;
+  - определить  эти   реакции   аналитически, используя [[Равновесие системы сходящихся сил|уравнения равновесия]] или графически,  используя  условие  замкнутости силового многоугольника;
+  - проверить правильность решения задачи.
+===== Пример 1 =====
+Определить реакции стержней, соединенных шарниром В,  если к нему подвешен груз весом Q (**Рис.1а**).
+<box 620px>{{:subjects:termeh:statics:termeh_statics_6a35ad2e.jpg?600|}}</box|Рис.1>
+==== Решение ====
+В соответствии с  предложенным  выше  планом  выбираем  тело,
+равновесие  которого  мы  будем  рассматривать.  Этот  выбор,  в   основном,
+определяется условиями задачи. Если в  этой  задаче  рассмотреть  равновесие
+подвешенного груза, то мы сумеем найти только силу натяжения  нити,  которая
+равна весу тела: //T = Q//  (**Рис.б**).
+Чтобы определить реакции  стержней,  рассмотрим  равновесие  точки  В.
+Можно считать, что к ней посредством нити  приложена  активная  сила   $\vec{Q}$   и
+реакции отброшенных стержней $\vec{S_A}$ и $\vec{S_C}$  (**Рис.1в**).
+=== Решим эту задачу аналитически ===
+Выбирая  начало  отсчета  в  точке  В, составим [[Равновесие системы сходящихся сил|уравнения равновесия]], которые в этой задаче примут вид:
+$$ -S_A \cdot \cos \alpha + S_C \cdot \cos \beta = 0;
+\\ S_A \cdot \sin \alpha + S_C \cdot \sin \beta = Q.
+$$
+Чтобы  найти  отсюда  S<sub>C</sub> сложим полученные уравнения, умножив предварительно первое из них на $\sin \alpha$, а второе –- на $\cos \alpha$:
+$$S_C\cdot(\sin\alpha\cdot\cos\beta + \cos\alpha\cdot\sin\beta) = Q\cdot\cos\alpha$$
+Отсюда следует, что $S_C = Q\cdot\frac{\cos\alpha}{\sin(\alpha+\beta)}$, а поскольку $\alpha\text{ и }\beta$  в  эти уравнения входят симметрично, то $S_A = Q\cdot\frac{\cos\beta}{\sin(\alpha+\beta)}$.
+''Задача решена.'' Для проверки правильности аналитического решения задачи воспользуемся графическим методом.
+=== Графический метод ===
+Треугольник, образованный  из  трех  сил:  $\vec{Q},\, \vec{S_A}\text{ и }\vec{S_C}$  должен  быть
+замкнут, поэтому решение сводится к  построению  треугольника  по  известной
+стороне (Q) и направлению двух других сторон (S<sub>A</sub> и S<sub>C</sub>). Для  этого  нужно  в
+масштабе построить вектор Q, а затем из начала  и  из  конца  этого  вектора
+провести прямые, параллельные $\vec{S_A}\text{ и }\vec{S_C}$ до их пересечения (**Рис.1г**).
+Измерив длины  найденных  отрезков  и  пересчитав  в  масштабе,  можно
+считать  поставленную  задачу  решенной.  Направление  полученных   векторов
+определяется из условия замкнутости силового многоугольника, то  есть  конец
+последнего вектора должен совпадать с началом первого.
+Можно, впрочем, определить величину S<sub>A</sub> и S<sub>C</sub> и без масштабной  линейки, если просто решить построенный треугольник.
+С этой целью воспользуемся [[subjects:geometry:Теорема синусов и теорема косинусов|теоремой синусов]]:
+$$\frac{Q}{\sin(\alpha + \beta)} = \frac{S_A}{\sin(\frac{\pi}{2} - \beta)} = \frac{S_C}{\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)}$$
+, откуда, заменяя синус дополнительного угла косинусом, получим:
+$$ S_C = Q\cdot\frac{\cos\alpha}{\sin(\alpha+\beta)}
+\\ S_A = Q\cdot\frac{\cos\beta}{\sin(\alpha+\beta)}
+$$
+То есть, результат графического  решения  совпадает  с  аналитическим,
+значит ''задача решена'' правильно.
+===== Пример 2 =====
+Центр невесомого идеального блока удерживается при  помощи
+двух стержней, соединенных шарнирно в точке В. Через блок переброшена  нить,
+один  конец  которой  закреплен,  а  к  другому  –   подвешен   груз   весом
+Q (**Рис.2а**). Определить реакции стержней, пренебрегая размерами блока.
+<box 620px>{{:subjects:termeh:statics:termeh_statics_795bf60d.jpg?600|}}</box|Рис.2>
+==== Решение ====
+Рассмотрим равновесие блока  В,  к  которому  приложены  силы
+натяжения нитей $\vec{T_1}\text{ и }\vec{T_2}$ и реакции отброшенных стержней $\vec{S_A}\text{ и }\vec{S_С}$,  которые,
+как и в предыдущем примере мы считаем растянутыми (**Рис.2б**).
+Фактически в качестве активной силы выступает  вес  груза  //Q//,  который
+приложен к блоку с помощью нити, поэтому $\vec{T_1} = \vec{Q}$.  По  поводу  силы $\vec{t_2}$ надо
+отметить, что идеальным – то есть без  трения  блоком  называется  механизм,
+который меняет направление силы натяжения нити, но не ее  величину,  поэтому
+$Т_1 = Т_2 = Q$.
+Пренебрегая   размерами   блока,   получим   уравновешенную   систему
+сходящихся сил, приложенных в точке //В// (**Рис.2в**).
+Определим реакции S<sub>A</sub> и S<sub>С</sub> аналитически. Отметим, что если в первое  из
+[[Равновесие системы сходящихся сил|уравнений равновесия]] входят оба неизвестных, то в уравнение $\sum Y_i = 0$ неизвестная
+реакция S<sub>С</sub> не войдет, поэтому имеет смысл начать  решение  задачи  именно  с
+этого уравнения:
+$$S_A\cdot\cos{30^{\circ}} + Т_2\cdot\cos{60^{\circ}} - Т_1 = 0$$
+Подставляя сюда значения тригонометрических функций и $Т_1=Т_2=Q$ , получим:
+$$S_A\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{Q}{2}$$
+, откуда $S_A = Q\cdot\frac{sqrt{3}}{3}$.
+Теперь вернемся к уравнению $\sum X_i = 0$:
+$$ -S_A\cdot\cos{60^{\circ}} + Т_2\cdot\cos{30^{\circ}} + S_C = 0
+\\ \text { или }
+\\ S_С  = \frac{S_A}{2} - Q\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}
+$$
+Подставив найденное выше значение S<sub>A</sub>, получим:
+$$S_С  = Q\cdot\frac{\sqrt{3}}{6} - Q\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = - Q\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}$$
+При этом минус в последнем выражении  означает,  что  стержень  ВС  не
+растянут, как мы предполагали, а сжат.
+Для проверки полученного результата решим  эту  задачу  графически.  С
+этой целью от центра О  последовательно  откладываем  в  масштабе  известные
+силы Т<sub>1</sub> и Т<sub>2</sub>,  затем  от  начала  первого  и  от  конца  последнего  вектора
+проводим прямые, параллельные S<sub>A</sub> и S<sub>С</sub> до их пересечения (**Рис.2г**).
+Нетрудно видеть,  что  построенный  силовой  многоугольник  имеет  ось
+симметрии и $|\vec{S_A}| = |\vec{S_C}|$.  При  этом  направление  вектора $\vec{S_C}$ на  силовом
+многоугольнике противоположно  первоначальному  направлению,  указанному  на
+чертеже, то есть стержень //ВС// не растянут, а сжат.
+===== Примечания: =====
+  * //В системе [[Равновесие системы сходящихся сил|уравнений равновесия]]  оси  координат  не  обязательно  должны быть взаимно перпендикулярными, поэтому, если в  последнем  примере  выбрать ось //Ох//,  совпадающую  по  направлению  с  силой  Т<sub>2</sub> ,мы  получим  систему уравнений, из которых неизвестные $\vec{S_A}\text{ и }\vec{S_C}$  находятся  ''независимо  одно  от другого''.//
+  * //Впоследствии мы увидим, что аналитическое решение  можно  проверить не только с помощью графического решения, но и  аналитически.  Впрочем,  для системы  сходящихся  сил  изложенный  метод  решения  задач  является,   по-видимому, оптимальным.//

wiki.eduVdom.com

Инструменты пользователя

Инструменты сайта

Различия

Инструменты страницы

Записаться на занятия