Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.
— |
subjects:termeh:statics:решение_задач [2013/04/05 17:01] (текущий) ¶ создано |
||
---|---|---|---|
Строка 1: | Строка 1: | ||
+ | ====== Решение задач ====== | ||
+ | При решении задач по статике рекомендуется придерживаться следующего плана: | ||
+ | - выбрать тело, равновесие которого будем рассматривать; | ||
+ | - приложить к нему активные силы; | ||
+ | - отбросить связи, заменив их неизвестными опорными реакциями; | ||
+ | - определить эти реакции аналитически, используя [[Равновесие системы сходящихся сил|уравнения равновесия]] или графически, используя условие замкнутости силового многоугольника; | ||
+ | - проверить правильность решения задачи. | ||
+ | ===== Пример 1 ===== | ||
+ | Определить реакции стержней, соединенных шарниром В, если к нему подвешен груз весом Q (**Рис.1а**). | ||
+ | |||
+ | <box 620px>{{:subjects:termeh:statics:termeh_statics_6a35ad2e.jpg?600|}}</box|Рис.1> | ||
+ | |||
+ | ==== Решение ==== | ||
+ | В соответствии с предложенным выше планом выбираем тело, | ||
+ | равновесие которого мы будем рассматривать. Этот выбор, в основном, | ||
+ | определяется условиями задачи. Если в этой задаче рассмотреть равновесие | ||
+ | подвешенного груза, то мы сумеем найти только силу натяжения нити, которая | ||
+ | равна весу тела: //T = Q// (**Рис.б**). | ||
+ | |||
+ | Чтобы определить реакции стержней, рассмотрим равновесие точки В. | ||
+ | Можно считать, что к ней посредством нити приложена активная сила $\vec{Q}$ и | ||
+ | реакции отброшенных стержней $\vec{S_A}$ и $\vec{S_C}$ (**Рис.1в**). | ||
+ | |||
+ | === Решим эту задачу аналитически === | ||
+ | Выбирая начало отсчета в точке В, составим [[Равновесие системы сходящихся сил|уравнения равновесия]], которые в этой задаче примут вид: | ||
+ | |||
+ | $$ -S_A \cdot \cos \alpha + S_C \cdot \cos \beta = 0; | ||
+ | \\ S_A \cdot \sin \alpha + S_C \cdot \sin \beta = Q. | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | Чтобы найти отсюда S<sub>C</sub> сложим полученные уравнения, умножив предварительно первое из них на $\sin \alpha$, а второе –- на $\cos \alpha$: | ||
+ | |||
+ | $$S_C\cdot(\sin\alpha\cdot\cos\beta + \cos\alpha\cdot\sin\beta) = Q\cdot\cos\alpha$$ | ||
+ | |||
+ | Отсюда следует, что $S_C = Q\cdot\frac{\cos\alpha}{\sin(\alpha+\beta)}$, а поскольку $\alpha\text{ и }\beta$ в эти уравнения входят симметрично, то $S_A = Q\cdot\frac{\cos\beta}{\sin(\alpha+\beta)}$. | ||
+ | |||
+ | ''Задача решена.'' Для проверки правильности аналитического решения задачи воспользуемся графическим методом. | ||
+ | |||
+ | === Графический метод === | ||
+ | Треугольник, образованный из трех сил: $\vec{Q},\, \vec{S_A}\text{ и }\vec{S_C}$ должен быть | ||
+ | замкнут, поэтому решение сводится к построению треугольника по известной | ||
+ | стороне (Q) и направлению двух других сторон (S<sub>A</sub> и S<sub>C</sub>). Для этого нужно в | ||
+ | масштабе построить вектор Q, а затем из начала и из конца этого вектора | ||
+ | провести прямые, параллельные $\vec{S_A}\text{ и }\vec{S_C}$ до их пересечения (**Рис.1г**). | ||
+ | |||
+ | Измерив длины найденных отрезков и пересчитав в масштабе, можно | ||
+ | считать поставленную задачу решенной. Направление полученных векторов | ||
+ | определяется из условия замкнутости силового многоугольника, то есть конец | ||
+ | последнего вектора должен совпадать с началом первого. | ||
+ | |||
+ | Можно, впрочем, определить величину S<sub>A</sub> и S<sub>C</sub> и без масштабной линейки, если просто решить построенный треугольник. | ||
+ | |||
+ | С этой целью воспользуемся [[subjects:geometry:Теорема синусов и теорема косинусов|теоремой синусов]]: | ||
+ | |||
+ | $$\frac{Q}{\sin(\alpha + \beta)} = \frac{S_A}{\sin(\frac{\pi}{2} - \beta)} = \frac{S_C}{\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha)}$$ | ||
+ | |||
+ | , откуда, заменяя синус дополнительного угла косинусом, получим: | ||
+ | |||
+ | $$ S_C = Q\cdot\frac{\cos\alpha}{\sin(\alpha+\beta)} | ||
+ | \\ S_A = Q\cdot\frac{\cos\beta}{\sin(\alpha+\beta)} | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | То есть, результат графического решения совпадает с аналитическим, | ||
+ | значит ''задача решена'' правильно. | ||
+ | |||
+ | ===== Пример 2 ===== | ||
+ | Центр невесомого идеального блока удерживается при помощи | ||
+ | двух стержней, соединенных шарнирно в точке В. Через блок переброшена нить, | ||
+ | один конец которой закреплен, а к другому – подвешен груз весом | ||
+ | Q (**Рис.2а**). Определить реакции стержней, пренебрегая размерами блока. | ||
+ | |||
+ | <box 620px>{{:subjects:termeh:statics:termeh_statics_795bf60d.jpg?600|}}</box|Рис.2> | ||
+ | |||
+ | ==== Решение ==== | ||
+ | Рассмотрим равновесие блока В, к которому приложены силы | ||
+ | натяжения нитей $\vec{T_1}\text{ и }\vec{T_2}$ и реакции отброшенных стержней $\vec{S_A}\text{ и }\vec{S_С}$, которые, | ||
+ | как и в предыдущем примере мы считаем растянутыми (**Рис.2б**). | ||
+ | |||
+ | Фактически в качестве активной силы выступает вес груза //Q//, который | ||
+ | приложен к блоку с помощью нити, поэтому $\vec{T_1} = \vec{Q}$. По поводу силы $\vec{t_2}$ надо | ||
+ | отметить, что идеальным – то есть без трения блоком называется механизм, | ||
+ | который меняет направление силы натяжения нити, но не ее величину, поэтому | ||
+ | $Т_1 = Т_2 = Q$. | ||
+ | |||
+ | Пренебрегая размерами блока, получим уравновешенную систему | ||
+ | сходящихся сил, приложенных в точке //В// (**Рис.2в**). | ||
+ | |||
+ | Определим реакции S<sub>A</sub> и S<sub>С</sub> аналитически. Отметим, что если в первое из | ||
+ | [[Равновесие системы сходящихся сил|уравнений равновесия]] входят оба неизвестных, то в уравнение $\sum Y_i = 0$ неизвестная | ||
+ | реакция S<sub>С</sub> не войдет, поэтому имеет смысл начать решение задачи именно с | ||
+ | этого уравнения: | ||
+ | |||
+ | $$S_A\cdot\cos{30^{\circ}} + Т_2\cdot\cos{60^{\circ}} - Т_1 = 0$$ | ||
+ | |||
+ | Подставляя сюда значения тригонометрических функций и $Т_1=Т_2=Q$ , получим: | ||
+ | |||
+ | $$S_A\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{Q}{2}$$ | ||
+ | |||
+ | , откуда $S_A = Q\cdot\frac{sqrt{3}}{3}$. | ||
+ | |||
+ | Теперь вернемся к уравнению $\sum X_i = 0$: | ||
+ | |||
+ | $$ -S_A\cdot\cos{60^{\circ}} + Т_2\cdot\cos{30^{\circ}} + S_C = 0 | ||
+ | \\ \text { или } | ||
+ | \\ S_С = \frac{S_A}{2} - Q\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | Подставив найденное выше значение S<sub>A</sub>, получим: | ||
+ | |||
+ | $$S_С = Q\cdot\frac{\sqrt{3}}{6} - Q\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = - Q\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}$$ | ||
+ | |||
+ | При этом минус в последнем выражении означает, что стержень ВС не | ||
+ | растянут, как мы предполагали, а сжат. | ||
+ | |||
+ | Для проверки полученного результата решим эту задачу графически. С | ||
+ | этой целью от центра О последовательно откладываем в масштабе известные | ||
+ | силы Т<sub>1</sub> и Т<sub>2</sub>, затем от начала первого и от конца последнего вектора | ||
+ | проводим прямые, параллельные S<sub>A</sub> и S<sub>С</sub> до их пересечения (**Рис.2г**). | ||
+ | |||
+ | Нетрудно видеть, что построенный силовой многоугольник имеет ось | ||
+ | симметрии и $|\vec{S_A}| = |\vec{S_C}|$. При этом направление вектора $\vec{S_C}$ на силовом | ||
+ | многоугольнике противоположно первоначальному направлению, указанному на | ||
+ | чертеже, то есть стержень //ВС// не растянут, а сжат. | ||
+ | |||
+ | ===== Примечания: ===== | ||
+ | * //В системе [[Равновесие системы сходящихся сил|уравнений равновесия]] оси координат не обязательно должны быть взаимно перпендикулярными, поэтому, если в последнем примере выбрать ось //Ох//, совпадающую по направлению с силой Т<sub>2</sub> ,мы получим систему уравнений, из которых неизвестные $\vec{S_A}\text{ и }\vec{S_C}$ находятся ''независимо одно от другого''.// | ||
+ | * //Впоследствии мы увидим, что аналитическое решение можно проверить не только с помощью графического решения, но и аналитически. Впрочем, для системы сходящихся сил изложенный метод решения задач является, по-видимому, оптимальным.// |