Соотношения между сторонами и углами треугольника. Неравенство треугольника
Теорема 1. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.
Доказательство. Пусть в треугольнике ABC сторона АВ больше стороны АС (рис.1, а).
Рис.1
Докажем, что ∠ С > ∠ В. Отложим на стороне АВ отрезок AD, равный стороне АС (рис.1, б). Так как AD < АВ, то точка D лежит между точками А и В. Следовательно, угол 1 является частью угла С и, значит, ∠ C > ∠ 1. Угол 2 — внешний угол треугольника BDC, поэтому Z 2 > Z В. Углы 1 и 2 равны как углы при основании равнобедренного треугольника ADC. Таким образом, ∠ С > ∠ 1, ∠ 1 = ∠ 2, ∠ 2 > ∠ B. Отсюда следует, что ∠ С > ∠ В.
Справедлива и обратная теорема (ее доказательство проводится методом от противного).
Теорема 2. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.
Из теоремы 1 вытекает
Следствие 1. Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника).
Доказательство следствия проводится методом от противного.
Из следствия 1 следует, что если три угла треугольника равны, то треугольник равносторонний.
Из теоремы 2 получаем
Следствие 3. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.
С использованием теоремы 2 устанавливается следующая теорема.
Теорема 3. Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
Следствие 4. Для любых трех точек А, В и С, не лежащих на одной прямой, справедливы неравенства:
АВ < АС + СВ, АС < АВ + ВС, ВС < ВА + АС.
Каждое из этих неравенств называется неравенством треугольника.
 |
Пример 1. Сравнить углы треугольника ABC и выяснить, может ли быть угол А тупым, если АВ > ВС > АС.
Решение. Согласно теореме 1 имеем: ∠ C> ∠ A > ∠ B. Угол А тупым быть не может, так как тогда ∠ С тоже тупой и, значит, ∠ A + ∠ B + ∠ C > 180°, что невозможно (Теорема о сумме углов треугольника).
Пример 2. Сравнить стороны треугольника ABC, если ∠ A > ∠ B > ∠ C.
Решение. Согласно теореме 1 имеем: ВС > АС > АВ.
Пример 3. Две стороны равнобедренного треугольника равны 6 и 2. Чему равна третья сторона?
Решение. Так как каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон (теорема 3), то третья сторона может быть равной только 6.
Пример 4. Одна сторона треугольника равна 1,5, другая — 0,7. Определить третью сторону, зная, что она выражается натуральным числом.
Решение. Обозначим третью сторону треугольника через х. Тогда х < 1,5 + 0,7 = 2,2 (теорема 3). Отсюда, учитывая, что эта сторона выражается натуральным числом, следует, что х = 2 или х = 1.
|