Пусть система сходящихся сил задана аналитически, то есть, известны координаты центра системы A(x, y, z) и проекции каждой силы на оси координат: Xi, Yi , Zi , где индекс i принимает значения от 1 до n.
Согласно теореме равнодействующая системы приложена в точке A и равна геометрической сумме этих сил:
$$(\vec{P_1}, \vec{P_2}, \dots, \vec{P_n}) \sim \vec{R} = \sum_{i=1}^{i=n} \vec{P_i}$$
Представим каждую силу системы в виде суммы ее составляющих по осям координат:
$$\vec{P_i} = X_i \cdot \vec{i} + Y_i \cdot \vec{j} + Z_i \cdot \vec{k}$$
В аналогичной форме запишем неизвестную пока равнодействующую $\vec{R}$:
$$\vec{R} = R_x \cdot \vec{i} + R_y \cdot \vec{j} + R_z \cdot \vec{k}$$
Подставляя последние два в первое и приравнивая коэффициенты при одинаковых ортах в обеих частях последнего соотношения, получим искомые выражения проекций равнодействующей:
$$ R_x = \sum_{i=1}^{i=n} X_i \\ R_y = \sum_{i=1}^{i=n} Y_i \\ R_z = \sum_{i=1}^{i=n} Z_i $$
Полученные зависимости можно сформулировать в виде следующей теоремы:
проекция равнодействующей системы на какую-либо ось равна сумме проекций
всех сил системы на эту ось.
Воспользовавшись формулами, найдем модуль и направление равнодействующей произвольной пространственной системы сходящихся сил:
$$ R = \sqrt{R_x^2+R_y^2+R_z^2} = \sqrt{ (\sum X_i)^2 + (\sum Y_i)^2 + (\sum Z_i)^2 } \\ \cos (\vec{R}, \vec{i}) = \frac{R_x}{R} \\ \cos (\vec{R}, \vec{j}) = \frac{R_y}{R} \\ \cos (\vec{R}, \vec{k}) = \frac{R_z}{R} $$