Проекция силы на ось - характеризует действие этой силы вдоль этой оси.

То есть Проекция силы на ось Ох ($ P_x = \sum X_i $ ) характеризует действие этой силы вдоль оси Ох.

А проекция силы на ось Оу ($ P_y = \sum Y_i $ ) характеризует действие этой силы вдоль оси Оу.

И если сумма проекций всех сил на ось Ох равна нулю ($ \sum X_i = 0 $ )– значит действие этих сил вдоль этой оси Ох нет , силы вдоль этой оси друг друга уравновешивают.

И если сумма проекций всех сил на ось Оу равна нулю ($ \sum Y_i = 0 $ )- значит действие этих сил вдоль этой оси Оу нет , силы друг друга вдоль этой оси Оу уравновешивают.

Вращательное действие силы относительно точки О характеризует момент этой силы относительно этой точки О ($ M_0(P)=0 $) .

И если сумма моментов всех сил относительно точки О равно нулю ($ \sum M_O =0 $), то вращательного действия всех этих сил на тело относительно точки О нет, они его не производят, или их вращательные действия их взаимно уравновешены.

Теперь - если проекции всех сил на оси Ох и Оу равны нулю , и сумма моментов всех сил относительно любой - какой угодно - точки равны нулю, то тело находится в равновесии.

$$ \sum X=0 \\ \sum Y=0 \\ \sum M_A=0 $$

Это и есть условия равновесия тела под действием произвольной плоской системы тел:

Система сил, действующих на тело, называется сходящейся, если линии действия этих сил пересекается в одной точке.

Для того, чтобы система сходящихся сил была уравновешенной,

то есть под действием ее тело будет находится в равновесии -

условие равновесия системы сходящихся сил,

может быть записано : $$ \sum X_i = 0 \\ \sum Y_i = 0 $$

Или другими словами - для плоской системы сходящихся сил, лежащих в плоскости Oxy, соответствующие уравнения равновесия примут вид:

$$ \sum X_i = 0 \\ \sum Y_i = 0 $$

Определение. Проекцией силы $\vec{Р}$ на ось Ox называется взятая с знаком $\pm$ длина отрезка этой оси, заключенная между проекциями на неё начала и конца вектора силы.

Эту проекцию обычно обозначают как Р_x или X. В соответствии с определением она равна:

$$ P_x = X = |\vec{Р}| \cdot \cos (\vec{Р}, \vec{i}) = P \cdot \cos \alpha $$

$$ P_y = Y = |\vec{Р}| \cdot \cos (\vec{Р}, \vec{j}) = P \cdot \sin \alpha $$

, где $\vec{i}$ – единичный вектор оси /Ox/, а $\alpha$ – угол между ним и силой $\vec{Р}$ (Рис.1).

Рис.1

Таким образом:

$$ P_x > 0\text{, если }0 \leq \alpha < \frac{\pi}{2} $$ $$ P_x = 0\text{, если } \alpha = \frac{\pi}{2} $$ $$ P_x < 0\text{, если } \frac{\pi}{2} < \alpha \leq \pi $$

Проекция силы на ось равна нулю, если сила перпендикулярно оси.

Аналогично находится проекция силы Р на ось Oy.

Вектор $ \vec{Р} $ может быть выражен:

$$\vec{Р} = P_x \cdot \vec{i} + P_y \cdot \vec{j} = X \cdot \vec{i} + Y \cdot \vec{j}$$

А равнодействующая пространственной системы трех сходящихся сил изображается диагональю параллелограмма, построенного на этих силах, как на сторонах.

Модуль и направление искомого вектора силы Р можно найти по формулам:

$$ P = \sqrt{X^2 + Y^2} \\ \cos (\vec{Р}, \vec{i}) = \frac{X}{P} \\ \cos (\vec{Р}, \vec{j}) = \frac{Y}{P} $$

Рассмотрим тело, которое закреплено в центре О и может поворачиваться вокруг оси, проходящей через точку О и перпендикулярной к плоскости чертежа. Приложим в точке А этого тела силу P и выясним, чем определяется вращательное действие этой силы (Рис.1).

Рис.1

Очевидно, что воздействие силы на тело будет зависеть не только от ее величины, но и от того, как она направлена, и в конечном итоге будет определяться ее моментом относительно центра О.

Определение 1. Моментом силы Р относительно центра О называется взятое со знаком $\pm$ произведение модуля силы на ее плечо – то есть длину перпендикуляра, опущенного из моментной точки на линию действия силы.

Правило знаков: момент силы считается положительным, если сила стремится повернуть тело против хода часовой стрелки и отрицательным, если она вращает тело по ходу часовой стрелки.

В соответствии с данным определением момент силы численно равен удвоенной площади треугольника OAB, построенного на векторе силы P с вершиной в моментной точке: $M_0(P) = P\cdot d = 2S\Delta_{OAB}$ .

Отметим, что момент силы относительно точки О равен нулю, если линия действия силы проходит через моментную точку.

Рассмотренное определение момента силы подходит только для плоской системы сил. В общем случае для однозначного описания вращательного действия силы введем следующее определение.

Уравнения равновесия плоской системы сил, которые можно записать в трех различных формах:

1. Первая форма:
   $$ \sum X=0 \\ \sum Y=0 \\ \sum M_A=0 $$
2. Вторая форма:
   $$ \sum M_A=0 \\ \sum M_B=0 \\ \sum Y=0 $$ , где ось Oy неперпендикулярна отрезку АВ.
3. Третья форма:
   $$ \sum M_A=0 \\ \sum M_B=0 \\ \sum M_C=0 $$ , где точки А, В и С не лежат на одной прямой.

Таким образом, эти три формы эквивалентны условию равновесия равновесия плоской системы сил и наоборот.